[ 이것이 코딩테스트다 with 파이썬 ] 다이나믹 프로그래밍

 

• 다이나믹 프로그래밍 : 메모리를 적절히 사용사여 수행 시간을 비약적으로 증가시키는 방법

• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.

• 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운, 보텀업)으로 구성된다.

 

다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부른다.

 

일반적인 프로그래밍 분야에서 동적(Dynamic)이란

: 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법'

 

다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미없이 사용된 단어 

 

다이나믹 프로그래밍은 다음 조건을 만족할 때 사용이 가능하다.

1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)

  : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)

  : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

 

ex) 피보나치 수열 

 

메모이제이션(Memoization)

: 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나

: 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법

  • 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.

  • 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.

 

• 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 한다.

• 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식

   • 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.

 

• 엄밀히 말하면 메모이제이션을 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미

   • 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.

   • 한 번 계산된 결과를 담아놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

 

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다.

• 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있다.

   •  다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해보자

 

• 일단 재귀함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.

• 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.

 

 ** 점화식 세워보기 ** 

 

1. 1로 만들기 (실전문제)

2. 개미전사 (실전문제)

3. 바닥공사 (실전문제)

4. 효율적인 화폐구성 (실전문제)

 

[ 실전문제 ]  1로 만들기

※ 문제

정수 X가 주어질 때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 4가지이다.

 

a. X가 5로 나누어떨어지면, 5로 나눈다.

b. X가 3으로 나누어떨어지면, 3으로 나눈다.

c. X가 2로 나누어떨어지면, 2로 나눈다.

d. X에서 1을 뺀다.

 

정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다.

연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다.

 

1. 26 - 1 = 25 (d)

2. 25 / 5 = 5 (a)

3. 5 / 5 = 1 (a)

 

입력조건 

- 첫째 줄에 정수 X가 주어진다. ( 1≤X≤30,000 )

 

출력조건 

- 첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

# 1로 만들기
x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 3001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i - 1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 2 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 3 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 5 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)

print(d[x])

 

[ 실전문제 ]  개미 전사

※ 문제

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량 창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량 창고를 선택적으로 약탈하려 식량을 빼앗을 예정이다.

이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량 창고를 약탈해야 한다. 예를 들어 식량탕고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정하자.

{ 1, 3, 1, 5 }

이 때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량 창고를 선책했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량차고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.

개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 

 

입력조건

- 첫째 줄에 식량창고 개수 N이 주어진다. ( 3≤N≤100 )

- 둘째 줄에 공백으로 구분되어 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어진다. ( 0≤K≤1,000 )

 

출력조건 

- 첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하시오.

# 개미 전사

# 정수 N을 입력받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력받기
k = list(map(int, input().split()))

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 다이나믹 프로그래밍 (Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[0] = k[0]
d[1] = max(k[0], k[1])

for i in range (2, n):
    d[i] = max(d[i-1], d[i-2] + k[i])

# 계산된 결과 출력
print(d[n-1])

 

[ 실전문제 ]  바닥 공사

※ 문제

가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다. 태일이는 이 얇은 바닥을 1 X 2의 덮개, 2 X 1의 덮개, 2 X 2의 덮개를 이용해 채우고자 한다.

 

이때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 예를 들어 2 X 3 크기의 바닥을 채우는 경우의 수는 5가지 이다.

 

입력조건

- 첫째 줄에는 N이 주어진다. ( 0≤N≤1,000 )

 

출력조건 

- 첫째 줄에  2 X N 크기의 바닥을 채우는 방법의 수를 796,796으로 나눈 나머지를 출력한다. 

n = int(input())

d = [0] * 1001

d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3, n+1):
    d[i] = (d[i-1] + 2 * d[i-2]) % 796796

# 계산된 결과 출력
print(d[n])

 

[ 실전문제 ]  효율적인 화폐 구성

※ 문제

N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다.

이때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다.

예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 개수이다.

 

입력조건

- 첫째 줄에는 N, M이 주어진다. ( 1≤N≤100, 1≤M≤10,000 )

- 이후 N개의 줄에는 각 화폐의 가치가 주어진다. 화폐 가치는 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

출력조건 

- 첫째 줄에  M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력한다.

- 불가능할 때는 -1을 출력한다.

# 효율적인 화폐 구성

# 정수 N, M을 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
    array.append(int(input()))

# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)  # 가치의 합 + 1 : 인덱스 0 포함

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):  # 화폐 종류의 수
    for j in range(array[i], m + 1):  # 화폐의 종류 부터 d 배열의 크기 반복 가치의 합 + 1
        if d[j - array[i]] != 10001:  # (i-k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
            d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)

# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001:  # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
    print(-1)
else:
    print(d[m])

 

강의 및 출처