[ 이것이 코딩테스트다 with 파이썬 ] 기타 그래프 이론

• 서로소 집합 (Disjoint Sets) : 공통 원소가 없는 두 집합을 의미합니다.

 

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조입니다.

• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원합니다.

    • 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산입니다.

    • 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산입니다.

• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 합니다.

 

• 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같습니다.

    1. 합집합(Union) 연산을 확인하며, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인합니다.

        1)  A와 B의 루트 노드 A', B' 를 각각 찾습니다.

        2)  A'를 B'의 부모노드로 설정합니다.

    2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복합니다. 

 

 

1. 기본적인 서로소 집합 구현 방법 

# 기본적인 서로소 집합 알고리즘

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e  = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end=' ')

 

• 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작합니다.

• 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)입니다.

 

경로 압축 

• 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있습니다.

    • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신합니다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

• 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트노드가 바로 부모 노드가 됩니다.

• 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신됩니다.

• 기본적인 방법에 비하여 시간복잡도가 개선됩니다.

 

1-1. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있습니다.

    • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있습니다.

• 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같습니다.

    1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인합니다.

         1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행합니다.

         2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것입니다.

    2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복합니다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        # 루트 노드를 게속 갱신시켜준다.
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1) # 부모테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

---

• 신장트리  : 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미합니다.

    • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 합니다.

 

최소신장 트리 

•  최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까요?

•  예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해봅시다.

    •  두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치합니다.

 

크루스칼 알고리즘 

•  대표적인 최소 신장 트리 알고리즘입니다.

 

•  그리디 알고리즘으로 분류됩니다.

•  구체적인 동작과정은 다음과 같습니다.

 

    1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬합니다.

    2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인합니다.

        1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장트리에 포함시킵니다.

        2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장트리에 포함시키지 않습니다.

    3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복합니다.

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edges in edges:
    cost, a, b = edges
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

 

•  크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가집니다.

•  크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분입니다.

    • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE) 입니다.

 

강의 및 출처